Hvis vi forenkler hele broen til 2D tynn bjelke med konstant snittstørrelse, ingen indre demping og bare utsatt for små vertikale avbøyninger, blir den naturlige frekvensen bestemt av enkel harmonisk bevegelse:

$$ n_0 = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$

Hvor $ n_0 $ er den naturlige frekvensen, er $ k $ forholdet mellom gjenopprettende kraft og avbøyning (ekvivalent 'fjærstivhet') og $ m $ er massen per lengdenhet av bjelken.

I en bjelke er den gjenopprettende kraften den indre skjæringen forårsaket av den avbøyde formen. Ettersom kraften som vises av en bjelke er proporsjonal med hastigheten på endring av skjær, som er relatert til stivheten ($ EI $) og endringshastigheten for øyeblikket den kan vises ( merk: avbøyningen er proporsjonal med lengden på bjelken) at:

$$ k = \ alpha \ frac {EI} {L ^ 4} $$

Hvor $ E $ er Youngs modul av strålematerialet, $ I $ er det andre treghetsmomentet til stråleseksjonen, $ L $ er strålens lengde og $ \ alpha $ er en konstant bestemt av støtteforholdene og modusnummer på responsen.

All litteraturen jeg har sett uttrykker dette på en måte som er mer praktisk for frekvensligningen:

$$ k = \ left (\ frac {K} {L ^ 2} \ right) ^ 2 (EI) $$

Erstatter tilbake,

$$ n_0 = \ frac {K} {2 \ pi L ^ 2} \ sqrt {\ frac {EI} {m}} $$

Beregning av verdien på $ K $ er ganske involvert, og det er en nøyaktig tilnærming for enkle løsninger, og omtrentlige metoder inkludert fri energimetode og Raleigh Ritz. Noen avvik for en bare støttet bjelke finner du her.

Det bør bemerkes at denne ligningen ville ha vært nok, men da det krever en tabell for $ K $ og beregningen av en verdi på $ EI $ som representerer broen som en homogen bjelke, synes forfatterne av Eurokoden å ha bestemt at det ville være bedre å integrere antagelsen om at $ k $ er konstant langs bjelken.

For å gjøre dette har de brukt følgende forhold:

$$ \ delta_0 = C \ frac {w L ^ 4} {EI} $$

Hvor $ \ delta_0 $ er maksimal avbøyning, $ C $ er en konstant diktert av støtteforholdene, $ w $ er en konstant jevnt fordelt belastning over bjelkens lengde.

Under egenvekt $ w = gm $ , hvor $ g $ er akselerasjon på grunn av tyngdekraften (9810 mm/s ² ; som avbøyning i denne ligningen er gitt i mm ).

Derfor (omorganisert :)

$$ \ sqrt {\ frac {EI} {m}} = L ^ 2 \ sqrt {9810} \ frac {\ sqrt {C }} {\ sqrt {\ delta_0}} $$

Og så:

$$ n_0 = \ frac {15.764 K \ sqrt {C}} {\ sqrt {\ delta_0 }} $$

Generelle verdier for $ K $ og $ C $ finnes i strukturelle tabeller - for eksempel henholdsvis her og her.

For en enkelt støttet stråle:

$$ K = \ pi ^ 2 \ text {and} C = \ frac {5} {384} $$$$ 15,764 K \ sqrt {C} = 17,75 $$$$ n_0 = \ frac {17,75} {\ sqrt {\ delta}} $$

Her er et mulig svar.

Jeg fant dette dokumentet (ikke sikker på nøyaktig kilde), som inneholder en relatert avledning:

I en enkelt harmonisk bevegelsesproblem, $$ n_0 = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ hvor $ k $ er elastisk stivhet og $ m $ er massen som gjennomgår vibrasjon .

$$ k = \ frac {\ text {load}} {\ text {deflection}} = \ frac {F} {\ delta} $$ hvor $ F $ er kraft og $ \ delta $ er avbøyningen. Dermed $$ n_0 = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {F} {m \ delta}} = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {ma} { m \ delta}} = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {a} {\ delta}} $$ Men avbøyningen i eksemplet ditt er i millimeter, mens det er i meter her, så jeg får om $$ n_0 = 5.03 \ sqrt {\ frac {a} {\ delta}} $$ Hvis $ a = 12,4382 $, får vi ligningen din. Men jeg er ikke sikker på hvor denne verdien kommer fra. Det kan være at en annen enhetsbryter er nødvendig, eller det kan være at denne konstanten bare er for en liten delmengde tilfeller der akselerasjonen er langs disse linjene.

Det er noe mer informasjon om dette i Ladislav Frybas bok "Dynamics of Railway Bridges" (1996). Hvis du leser kapittel 4, vil du se formel 4.53 på side 92:

$$ f_1 = 17.753 v_ {st} ^ {- 1/2} $$

Med $ f_1 $ er den første naturlige frekvensen i Hertz og $ v_ {st} $ midspan-avbøyningen i mm. Dette er nøyaktig formelen du spør om.

Denne ligningen følger av formelen for midspan-avbøyning av en enkelt støttet bjelke lastet med en jevnt fordelt belastning μg

$$ v_ {st} = {5 \ over 1pt 384} {\ mu gl ^ 4 \ over 1pt EI} $$

som erstattes av

$$ f_j = {\ lambda_j ^ 4 \ over 1pt l ^ 4} ({EI \ over 1pt \ mu}) ^ {1/2} $$

Det gir $$ \ lambda_1 = \ pi $$

Å erstatte disse ligningene i hverandre ved å bruke g = 9,81 m / s ^ 2 gir

$$ f_1 = {\ pi \ over 1pt 2} ({5 \ over 1pt 384} g) ^ {1/2} v_ {st} ^ {- 1/2} $$

Den numeriske evalueringen av denne ligningen gir ønsket ligning.

Dynamikk for ingeniører som meg, generelt opptatt av statikk, kan være fulle av enkle å gjøre feil og misforståelser. Denne formelen er veldig nyttig for bare støttede bjelker, siden den kan relateres raskt til påførte egenvektbelastninger og en andel av levende belastning (vanligvis 10%) uten å måtte gå inn i komplikasjoner.

Også Cantilevers kan bruke en lignende konstant (19,8 med udl, 15,8 med sluttpunktbelastning). Det hele brytes sammen med kontinuerlige bjelker og rammer.

Jeg bygger inn en naturlig frekvenssjekk med alle stråledesigner for å holde styr på den. For tømmerkonstruksjoner er for eksempel 8Hz målet og for betonggulv / stålrammer 4-6Hz - som første gang.

Det er også grove og klare metoder for å vurdere dynamiske responser rundt. Jeg må si at dynamikk fremdeles unngår og forvirrer meg og alltid vil! Så jeg holder meg så enkelt som mulig.